Question

16．如图，已知菱形ABCD中，AD∥BC，AD=$\sqrt{2}$，点O是AD上一点，以O为圆心，OD长为半径的⊙O与BC相切于点C，与BD相交于点E，连接OC，AC，分别与BD相交于点F，G．
（1）求∠ACO的度数和tan∠ACO的值；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明△OCD是等腰直角三角形，再求出OC、OD，利用∠ACO=∠ACD-∠OCD即可解决问题．
（2）连接OE，作FK⊥OE于K，证明△OKF是等腰直角三角形，求出KF，根据S_阴=S_扇形O-EC-S_△OEF进行计算即可．

解答 解：（1）∵BC是⊙O的切线，
∴OC⊥BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∴AD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=45°，
∵DA=DC=$\sqrt{2}$，
∴∠DAC=∠DCA=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，OD=OC=1，
∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=22.5°，
tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{1}$=$\sqrt{2}$-1．
（2）连接OE，作FK⊥OE于K．
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=45°，
∴∠ADB=∠BDC=22.5°，
∴∠EOC=2∠EDC=45°，
∵DO∥BC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{OF}{FC}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{OF}{1-0F}$，
∴OF=$\sqrt{2}$-1．
∴OK=KF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$-1）=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$•OE•KF=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴S_阴=S_扇形O-EC-S_△OEF=$\frac{45π•{1}^{2}}{360}$-（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{π}{8}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查切线的性质、等腰直角三角形的判定和性质、扇形的面积等知识，熟练掌握切线的性质是解决问题的关键，学会把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积的方法，属于中考常考题型．