Question

11．已知顶点为A（2，-1）的抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，点C坐标（1，0）；
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连接AB、BD、DA，求cos∠ABD的大小；
（3）点P在x轴正半轴上位于点D的右侧，如果∠APB=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，将点C的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）先求得点B、C、D的坐标，由点A、B、D的坐标可得到∠BDO=∠ADO=45°，从而可证明△ABD为直角三角形，然后依据两点间的距离公式可求得AB和BD的长，最后依据余弦函数的定义求解即可；
（3）先证明△ADP∽△PDB，依据相似三角形的性质可得到DP²=BD•AD，从而可求得DP的长，故此可得到点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，将点C的坐标代入得：a-1=0，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3．
（2）如图1所示：

令y=0得：x²-4x+3=0，解得：x=1或x=3，
∴C（1，0）、D（3，0）．
令x=0得y=3，
∴B（0，3）．
∴OB=OD．
∴∠BDO=45°．
∵A（2，-1），D（3，0），
∴∠ADO=45°，
∴∠ADB=90°．
依据两点间的距离公式可知AB=2$\sqrt{5}$，DB=3$\sqrt{2}$．
∴cos∠ABD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（3）如图2所示：

∵∠BPD+∠PBD=∠BDO=45°，∠BPD+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠DOA．
∵∠APD+∠DAP=∠ADO=45°，∠BPD+∠DPA=45°，
∴∠DAP=∠DBP．
∴△ADP∽△PDB．
∴$\frac{DP}{AD}$=$\frac{BD}{DP}$，即DP²=BD•AD．
∵AD=$\sqrt{2}$，BD=3$\sqrt{2}$，
∴DP²=6．
∴DP=$\sqrt{6}$．
∴OP=2+$\sqrt{6}$．
∴点P的坐标为（3+$\sqrt{6}$，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、相似三角形的性质和判断，证得△ABD为直角三角形是解答问题（2）的关键；证得△ADP∽△PDB是解答问题（3）的关键．