Question

13．已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD∥AB，过点B的切线与射线AD交于点M，连接AC、BD．
（1）如图l，求证：AC=BD；
（2）如图2，延长AC、BD交于点F，作直径DE，连接AE、CE，CE与AB交于点N，求证：∠AFB=2∠AEN；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点M作MQ⊥AF于点Q，若MQ：QC=3：2，NE=2，求QF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OD，根据平行线 的性质得到∠DAB=∠ADC根据已知条件得到∠COA=∠DOB，于是得到结论；
（2）连接OC，推出△FBA是等腰三角形，由DE是⊙O的直径，得到∠ECD=90°，根据平行线的性质得到AB⊥CE，得到AC=AE，根据等腰三角形的性质得到∠CAN=∠EAN=∠ABF，∠ACE=∠AEN，根据三角形的内角和即可得到结论；
（3）解：连接BC交AD于P，根据圆周角定理得到∠PAB=∠PBA，求得PA=PB，推出P为AM的中点，根据平行线的判定定理得到BC∥MQ，于是得到$\frac{AP}{PM}$=$\frac{AC}{QC}$，求得AC=CQ，设DF=3k，AD=4k，由勾股定理得，AF=5k=BF，求得BD=2k，根据平行线的性质得到∠EAN=∠ABD，求得tan∠EAN=2，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OC，OD，
∵CD∥AB，
∴∠DAB=∠ADC，
∵∠DOB=2∠DAB，∠COA=2∠CDA，
∴∠COA=∠DOB，
∴AC=BD；

（2）连接OC，
∵∠COA=∠DOB，OA=OB=OC=OD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴△FBA是等腰三角形，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠ECD=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ANC=90°，
∴AB⊥CE，
∴AC=AE，
∴∠CAN=∠EAN=∠ABF，∠ACE=∠AEN，
∵∠FAB+∠FBA+∠F=180°，∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，
∴∠F=∠ACE+∠AEC，
∴∠AFB=2∠AEN；

（3）解：连接BC交AD于P，
∵AC=BD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，
∴∠PAB=∠PBA，
∴PA=PB，∠PBM=∠PMB，
∴PB=PM，
∴P为AM的中点，
∵MQ⊥AF，BC⊥AF，
∴BC∥MQ，
∴$\frac{AP}{PM}$=$\frac{AC}{QC}$，
∴AC=CQ，
∵$\frac{MQ}{QC}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{MQ}{AQ}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠MAQ=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠F=$\frac{4}{3}$，
设DF=3k，AD=4k，由勾股定理得，AF=5k=BF，
∴BD=2k，
∴tan∠ABD=2，
∴DE为直径，
∴∠EAD=90=∠BDM，
∴AE∥BD，
∴∠EAN=∠ABD，
∴tan∠EAN=2，
∵NE=2，
∴AN=1，CN=2，
∴BN=4，AE=BD=$\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，AC=BD=$\sqrt{5}$=CQ，
∴QF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$

点评 本题考查了平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数的定义，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．