如图.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A三点．(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,(2)设点D在二次函数的图象上.将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE.使得射线CE与y轴的正半轴交于点E.且经过点D.射线CF与线段OA交于点F．求证:BE=2FO,.使得点A.D.H构成的△ADH是直角三角形?若存在.有几个符合条件的点H?(直接回� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A（3，0），B（0，1），C（2，2）三点．
（1）求二次函数y=ax²+bx+c的解析式；
（2）设点D（$\frac{6}{5}$，m）在二次函数的图象上，将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE，使得射线CE与y轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线CF与线段OA交于点F．求证：BE=2FO；
（3）是否存在点H（n，2），使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（直接回答，不必说明理由）

分析（1）利用待定系数法求函数的解析式；
（2）如图1，作辅助线，构建全等三角形，证明Rt△NBC≌Rt△MAC和△ACF≌△BCE，得AF=BE，根据
二次函数的解析式计算出D（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），利用待定系数法求直线CD：y=-$\frac{1}{2}$x+3，分别求BE和FO的长即可；
（3）先画直线y=2，分别以顶点A、D为直角顶点画直角，可得两个符合条件的H，再根据直径所对的圆周角是直角，以AD为直径画圆可得两个H．

解答（1）解：把A（3，0），B（0，1），C（2，2）代入y=ax²+bx+c，
得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ 9a+3b+c=0\\ 4a+2b+c=2\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{6}}\\{b=\frac{13}{6}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=-$\frac{5}{6}{x}^{2}+\frac{13}{6}$x+1；

（2）如图1，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥y轴于点N，
∵A（3，0），B（0，1），C（2，2），
∴CM=CN=2，CA=CB=$\sqrt{5}$，
∴Rt△NBC≌Rt△MAC（HL），
∴∠CAF=∠CBE，
∵将∠ACB绕点C按顺时针方向旋转至∠FCE，
∴∠FCE=∠ACB，
∴∠FCE-∠BCF=∠ACB-∠BCF，
即∠ACF=∠BCE，
又∵CB=CA，
∴△ACF≌△BCE，
∴AF=BE，
∵二次函数的解析式为：y=-$\frac{5}{6}{x}^{2}+\frac{13}{6}$x+1；
当x=$\frac{6}{5}$时，m=$\frac{12}{5}$，
∴D（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），
设直线CD：y=kx+b，把C（2，2）、D（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=2}\\{\frac{6}{5}k+b=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线CD：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴E（0，3），BE=2，
∴AF=BE=2，
∴FO=OA-AF=1，
∴BE=2FO；

（3）如图2，有四个符合条件的H点，使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形；
①过D作DH₁⊥AD，交直线y=2于点H₁；
②过A作AH₂⊥AD，交直线y=2于点H₂；
③以AD为直径画圆，交直线y=2于H₃、H₄；
∴存在4个符合条件的点H，使得点A、D、H构成的△ADH是直角三角形．