题目内容
数学课堂上，陈老师出示一道试题：
如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．
证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．又CN平分∠ACP，∠4=
∠ACP=60°，∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①
又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．∴△BEM为等边三角形．∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中， ， ， ，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．∴AM=MN．
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（正方形四条边都相等、四个角都是直角）（如图2），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（写出答案，并仿照（1）证明）
如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．
证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．又CN平分∠ACP，∠4=
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又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．∴△BEM为等边三角形．∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．∴AM=MN．
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（正方形四条边都相等、四个角都是直角）（如图2），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（写出答案，并仿照（1）证明）
考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质
专题：阅读型
分析：（1）在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，利用三角形内角和定理，利用等式的性质得到∠1=∠2，再由CN为角平分线，以及三角形BEM为等边三角形，得出∠MCN=∠5，利用ASA得到三角形AEM与三角形MCN全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）结论A1M1=M1N1仍然成立，理由为：在A1B1上截取A1E=C1M1，连接EM1，根据四边形A1B1C1D1为正方形，利用正方形的性质得到A1B1=B1C1，∠B1=90°，确定出△EB1M1为等腰直角三角形，利用角平分线性质及邻补角定义得到∠A1EM1=∠N1C1P1=135°，利用同角的余角相等得到∠B1A1M1=∠N1M1C1，利用ASA得到三角形A1EM1与三角形M1N1C1全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
（2）结论A1M1=M1N1仍然成立，理由为：在A1B1上截取A1E=C1M1，连接EM1，根据四边形A1B1C1D1为正方形，利用正方形的性质得到A1B1=B1C1，∠B1=90°，确定出△EB1M1为等腰直角三角形，利用角平分线性质及邻补角定义得到∠A1EM1=∠N1C1P1=135°，利用同角的余角相等得到∠B1A1M1=∠N1M1C1，利用ASA得到三角形A1EM1与三角形M1N1C1全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
解答：
（1）证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=
∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．
∴△BEM为等边三角形．
∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，
，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．
∴AM=MN．
故答案为：∠1=∠2；AE=CM；∠MCN=∠5；
（2）解：结论A1M1=M1N1仍然成立，理由为：
在A1B1上截取A1E=C1M1，连接EM1，
∵四边形A1B1C1D1为正方形，
∴A1B1=B1C1，∠B1=90°，
∴EB1=M1B1，即△EB1M1为等腰直角三角形，
∴∠B1EM1=45°，
∵C1N1为∠D1C1P1的平分线，
∴∠A1EM1=∠N1C1P1=135°，
∵∠B1A1M1+∠A1M1B1=90°，∠A1M1B1+∠N1M1C1=90°，
∴∠B1A1M1=∠N1M1C1，
在△A1EM1和△M1N1C1中，
，
∴△A1EM1≌△M1N1C1（ASA），
∴A1M1=M1N1．
（1）证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=
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∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．
∴△BEM为等边三角形．
∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，
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∴△AEM≌△MCN（ASA）．
∴AM=MN．
故答案为：∠1=∠2；AE=CM；∠MCN=∠5；
（2）解：结论A1M1=M1N1仍然成立，理由为：
在A1B1上截取A1E=C1M1，连接EM1，
∵四边形A1B1C1D1为正方形，
∴A1B1=B1C1，∠B1=90°，
∴EB1=M1B1，即△EB1M1为等腰直角三角形，
∴∠B1EM1=45°，
∵C1N1为∠D1C1P1的平分线，
∴∠A1EM1=∠N1C1P1=135°，
∵∠B1A1M1+∠A1M1B1=90°，∠A1M1B1+∠N1M1C1=90°，
∴∠B1A1M1=∠N1M1C1，
在△A1EM1和△M1N1C1中，
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∴△A1EM1≌△M1N1C1（ASA），
∴A1M1=M1N1．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
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能考试期末冲刺卷系列答案
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下列说法中，正确的是（ ）
A、单项式
| ||||
| B、-3x2y+4x-1是三次三项式，常数项是1 | ||||
| C、单项式a的系数是0，次数是0 | ||||
D、单项式-
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如图，直线y=-
如图，在边长为9的等边△ABC中，BD=3，∠ADE=60°，求AE的长．
如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，若S△ABC=12，则四边形BDFE的面积为