Question

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D、E、F分别为BC，AB上的点．AE⊥CF于点G，交CD于点H．
（1）求证：AH=CF；
（2）若BE=2DH，求证：CE=BF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得到∠ACD=∠ABC=45°，根据余角的性质得到∠CHG=∠CFD，求得∠AHC=∠BFC，推出△AHC≌△BFC，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）过D作DM∥BC交AE于M，根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD，根据三角形的中位线的性质得到DM=$\frac{1}{2}$BE，求得DM=DH，得到∠DMH=∠DHM，证得CH=CE，由于CH=CF，等量代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，
∴∠ACD=∠ABC=45°，
∵AE⊥CF于点G，
∴∠CHG+∠HCG=∠CFD+∠HCG=90°，
∴∠CHG=∠CFD，
∴∠AHC=∠BFC，
在△AHC与△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACH=∠B}\\{∠AHC=∠BFC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AHC≌△BFC，
∴AH=CF；

（2）过D作DM∥BC交AE于M，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，
∴AD=BD，
∴DM=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE=2DH，
∴DM=DH，
∴∠DMH=∠DHM，
∵∠DMH=∠CEH，∠MHD=∠CHE，
∴∠CHE=∠CEH，
∴CH=CE，
∵△AHC≌△BFC，
∴CH=BF，
∴CE=BF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．