Question

14．如图，△ABC，△ADE均为等边三角形，AD平分∠BAC交BC于点D，DE交AB于点F．下列结论：①AD⊥BC；②EF=DF；③BE=BD；④BE∥AC．其中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据等边三角形性质得出AB=AC，根据三线合一定理得出①正确；求出△BAE≌△CAD，推出BE=DC=BD，∠DAC=∠BAE=30°，求出∠BAE=∠BAD，根据三线合一得出EF=DF．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC，
∴∠ADC=90°，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠DAC=∠BAE，BE=DC，
∵BD=DC，
∴BE=BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=30°，
∴∠BAE=30°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠BAD=30°=∠BAE，
∵AE=AD，
∴EF=DF（三线合一），
∵△BAE≌△CAD，
∴∠ABE=∠C=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴BE∥AC，
即①②③④都正确，
故选A．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．