Question

20．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B+∠EGC=180°时，求证：$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；
（2）证△DFG∽△DEA，得出对应边成比例，证△CGD∽△CDF，得出对应边成比例，即可得出答案；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$；

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{DF}{DG}$，
∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴$\frac{DF}{DG}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CF}{CD}$，
∴$\frac{DE}{CF}$=$\frac{AD}{CD}$．

点评 本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．