Question

10．如图，直线y₁=kx+b与双曲线y₂=$\frac{m}{x}$交于A，B两点，它们的横坐标分别为1和5．
（1）当m=5时，①求直线AB的解析式；
②连接AO，BO，求△AOB的面积；
（2）当y₁＞y₂时，直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①由反比例函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的解析式；
②设直线AB与x轴的交点为E，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，根据三角形的面积公式结合S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE，即可求出△AOB的面积；
（2）观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，即可找出当y₁＞y₂时，x的取值范围．

解答 解：（1）①当x=1时，y₂=$\frac{5}{x}$=3，
∴点A的坐标为（1，5）；
当x=5时，y₂=$\frac{5}{x}$=1，
∴点B的坐标为（5，1）．
将点A（1，5）、B（5，1）代入y₁=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{5k+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y₁=-x+6．
②设直线AB与x轴的交点为E，如图所示．
当y₁=-x+6=0时，x=6，
∴点E的坐标为（6，0），
∴S_△AOB=S_△AOE-S_△BOE=$\frac{1}{2}$×6×5-$\frac{1}{2}$×6×1=12．
（2）观察函数图象可知：当x＜0或1＜x＜5时，直线在双曲线的上方，
∴当y₁＞y₂时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜5．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例（一次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）①根据点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式；②利用分割图形求面积法求出△AOB的面积；（2）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．