Question

15．已知△ABP的一边AB=$\sqrt{10}$．
（1）在如图（1）所示的4×4方格中画出格点△ABP，使三角形三边为$\sqrt{5}$、$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$．
（2）如图（2）所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，若点P为线段CD上动点．
①则AD=2BC=1；
②设DP=a，请用含a的代数式表示AP，BP，则AP=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，BP=$\sqrt{1+（3-a）^{2}}$．
③当a=1时，求PA+PB的值．
④PA+PB是否存在一个最小值？如果存在，请求出它的最小值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据要求画出△PAB即可；
（2）①关系图象即可解决问题．
②利用勾股定理计算即可；
③a=1代入②中代数式计算即可；
④存在．作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P′，此时P′A+P′B最小，利用勾股定理计算即可；

解答 解：（1）△PAB如图所示．

（2）①由图象可知AD=2，BC=1，
故答案为2，1．
②在Rt△ADP中，AP=$\sqrt{{2}^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{4+{a}^{2}}$，
在Rt△PBC中，PB=$\sqrt{1+（3-a）^{2}}$，
故答案为$\sqrt{4+{a}^{2}}$，$\sqrt{1+（3-a）^{2}}$．
③a=1时，PA+PB=$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$．
④存在．作B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于P′，此时P′A+P′B最小，
最小值=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查作图-应用与设计、勾股定理、轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称解决最值问题，属于中考常考题型．