Question

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x²+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于$\frac{1}{4}$；
（2）点E是二次函数y=x²+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x²+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）当t=12时，B（4，12），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，于是可得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标，从而可求得点D到x轴的距离；
（2）令y=0得到x²+bx=0，从而可求得方程的解为x=0或x=-b，然后列出OE•AE关于b的函数关系式，利用配方法可求得b的OE•AE的最大值，以及此时b的值，于是可得到抛物线的解析式；
（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．依据全等三角形的性质可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由点D的坐标可得到点N的坐标，最后将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值．

解答 解：（1）当t=12时，B（4，12）．
将点B的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=-1，
∴抛物线的解析式y=x²-x．
∴y=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$．
∴D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$）．
∴顶点D与x轴的距离为$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x²+bx=0，解得x=0或x=-b，
∵OA=4，
∴AE=4-（-b）=4+b．
∴OE•AE=-b（4+b）=-b²-4b=-（b+2）²+4，
∴OE•AE的最大值为4，此时b的值为-2，
∴抛物线的表达式为y=x²-2x．
（3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．

∵△DMN≌△FOC，
∴MN=CO=t，DG=FH=2．
∵D（-$\frac{b}{2}$，-$\frac{{b}^{2}}{4}$），
∴N（-$\frac{b}{2}$+$\frac{t}{2}$，-$\frac{{b}^{2}}{4}$+2），即（$\frac{t-b}{2}$，$\frac{8-{b}^{2}}{4}$）．
把点N和坐标代入抛物线的解析式得：$\frac{8-{b}^{2}}{4}$=（$\frac{t-b}{2}$）²+b•（$\frac{t-b}{2}$），
解得：t=±2$\sqrt{2}$．
∵t＞0，
∴t=2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的顶点坐标，全等三角形的性质，求得点N的坐标（用含b和t的式子表示）是解题的关键．