Question

14．正方形ABCD的边长为3，E为边BC边上的一个三等分点，把三角形ABE沿AE翻折使点B落在正方形ABCD所在平面内的点F处，则△ADF的面积为$\frac{18}{5}$或$\frac{63}{26}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到BE=1或BE=2，①当BE=1时，如图1，②当BE=2时，如图2，根据折叠的性质得到AF=AB=3，EF=BE=1，∠AFE=∠B=90°，过F作FN⊥AD于N，延长NF交BC于M，则MN⊥BC，四边形ABMN是矩形，得到AN=BM，根据相似三角形的性质得到FN的值，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵正方形ABCD的边长为3，E为边BC边上的一个三等分点，
∴BE=1或BE=2，
①当BE=1时，如图1，
由题意得，AF=AB=3，EF=BE=1，∠AFE=∠B=90°，
过F作FN⊥AD于N，延长NF交BC于M，
则MN⊥BC，四边形ABMN是矩形，
∴AN=BM，
∵∠AFN+∠FAN=∠AFN+∠EFM=90°，
∴∠FAN=∠EFM，
∴△ANF∽△FME，
∴$\frac{AN}{MF}=\frac{NF}{EM}=\frac{AF}{EF}$=3，
设NF=x，则FM=3-x，
∴AN=3（3-x），EM=$\frac{1}{3}$x，
∴BM=1+$\frac{1}{3}$x，
∵BM=AN，
∴1+$\frac{1}{3}$x=3（3-x），
∴x=$\frac{12}{5}$，
∴FN=$\frac{12}{5}$，
∴△ADF的面积=$\frac{1}{2}$AD•FN=$\frac{1}{2}×$3×$\frac{12}{5}$=$\frac{18}{5}$；
②当BE=2时，如图2，
由题意得，AF=AB=3，EF=BE=2，∠AFE=∠B=90°，
过F作FN⊥AD于N，延长NF交BC于M，
则MN⊥BC，四边形ABMN是矩形，
∴AN=BM，
∵∠AFN+∠FAN=∠AFN+∠EFM=90°，
∴∠FAN=∠EFM，
∴△ANF∽△FME，
∴$\frac{AN}{MF}=\frac{NF}{EM}=\frac{AF}{EF}$=$\frac{3}{2}$，
设NF=x，则FM=3-x，
∴AN=$\frac{3}{2}$（3-x），EM=$\frac{2}{3}$x，
∴BM=1+$\frac{2}{3}$x，
∵BM=AN，
∴1+$\frac{2}{3}$x=$\frac{3}{2}$（3-x），
∴x=$\frac{21}{13}$，
∴FN=$\frac{21}{13}$，
∴△ADF的面积=$\frac{1}{2}$AD•FN=$\frac{1}{2}×$3×$\frac{21}{13}$=$\frac{63}{26}$；
综上所述：△ADF的面积为$\frac{18}{5}$或$\frac{63}{26}$．
故答案为：$\frac{18}{5}$或$\frac{63}{26}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，正方形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的周长辅助线是解题的关键．