Question

15．如图，抛物线y=ax²-2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（-2，0），点C（0，-8），点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式可求得a、c的值，从而得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标；
（2）将y=0代入抛物线的解析式求得点B的坐标，然后由抛物线的对称轴方程可求得点E的坐标，由折叠的性质可求得∠BEP=45°，设直线EP的解析式为y=-x+b，将点E的坐标代入可求得b的值，从而可求得直线EP的解析式，最后将直线EP的解析式和抛物线的解析式联立组成方程组求解即可；
（3）先求得直线CD的解析式，然后再求得直线CB的解析式为y=k₂x-8，从而可求得点F的坐标，设点M的坐标为（a，-a-8），然后分为MF=MB、FM=FB两种情况列方程求解即可．

解答 解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{4a+4+c=0}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
解得：a=1，c=-8．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-8．
∵y=（x-1）²-9，
∴D（1，-9）．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x²-2x-8=0，解得x=4或x=-2，
∴B（4，0）．
∵y=（x-1）²-9，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0）．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．
∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=-x+b，将点E的坐标代入得：-1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=-x+1．
将y=-x+1代入抛物线的解析式得：-x+1=x²-2x-8，解得：x=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$或x=$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$．
∵点P在第四象限，
∴x=$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$．
∴y=$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$．
∴P（$\frac{1+\sqrt{37}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{37}}{2}$）．
（3）设CD的解析式为y=kx-8，将点D的坐标代入得：k-8=-9，解得k=-1，
∴直线CD的解析式为y=-x-8．
设直线CB的解析式为y=k₂x-8，将点B的坐标代入得：4k₂-8=0，解得：k₂=2．
∴直线BC的解析式为y=2x-8．
将x=1代入直线BC的解析式得：y=-6，
∴F（1，-6）．
设点M的坐标为（a，-a-8）．
当MF=MB时，（a-4）²+（a+8）²=（a-1）²+（a+2）²，整理得：6a=-75，解得：a=-$\frac{25}{2}$．
∴点M的坐标为（-$\frac{25}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
当FM=FB时，（a-1）²+（a+2）²=（4-1）²+（-6-0）²，整理得：a²+a-20=0，解得：a=4或a=-5．
∴点M的坐标为（4，-12）或（-5，-3）．
综上所述，点M的坐标为（-$\frac{25}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（4，-12）或（-5，-3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、翻折的性质、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式列出关于a的方程是解题的关键．