题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-| 4 |
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（1）求k的值；
（2）以线段OC为边作正方形OCMN，当顶点M在AB上时，求正方形的边长；
（3）若△AOC沿着AC翻折，使得点O落在AB上．
①求直线AC的解析式；
②P是直线AC上的点，在x轴一方的平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）将B（0，8）代入y=-
x+k，即可求出k=8；
（2）根据正方形的性质可设点M的坐标为（x，x），由点M在AB上可得x=-
x+8，解方程求出x=
，即为正方形OCMN的边长；
（3）①设C（0，n）．由直线y=-
x+8与x轴交于A，可得A（6，0）．根据S△AOC+S△ABC=S△AOB，列出方程
×6n+
×10n=
×6×8，解方程求得n=3，则C点坐标为（0，3）．设直线AC的解析式为y=mx+n，将A（6，0），C（0，3）代入，利用待定系数法即可求出直线AC的解析式为y=-
x+3；
②设P点坐标为（x，-
x+3）．分两种情况进行讨论：Ⅰ）如果OC为菱形的一条边，那么OP=OC=3或PC=OC=3．根据两点间的距离公式列出方程可求解；Ⅱ）如果OC为菱形的一条对角线，那么OC垂直平分PQ，设OC与PQ交于点O′，由三角形中位线定理得出O′Q=O′P=
OA=3，进而求解即可．
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（2）根据正方形的性质可设点M的坐标为（x，x），由点M在AB上可得x=-
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（3）①设C（0，n）．由直线y=-
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②设P点坐标为（x，-
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解答：解：（1）∵直线y=-
x+k与y轴交于B（0，8），
∴k=8；
（2）设点M的坐标为（x，x），依题意得
x=-
x+8，解得x=
，
即正方形OCMN的边长为
；
（3）①设C（0，n）．
∵直线y=-
x+8与x轴交于A，
∴A（6，0）．
∵S△AOC+S△ABC=S△AOB，
∴
×6n+
×10n=
×6×8，
解得n=3，
∴C点坐标为（0，3）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，
∵A（6，0），C（0，3），
∴
，
解得
，
∴直线AC的解析式为y=-
x+3；
②存在．设P点坐标为（x，-
x+3）．
分两种情况：
Ⅰ）如果OC为菱形的一条边，那么OP=OC=3或PC=OC=3．
当OP=OC=3时，则x2+（-
x+3）2=32，
解得x1=0（舍去），x2=
，
∴-
x+3=-
×
+3=
，
∴点Q1的纵坐标为
+3=
，
∴Q1（
，
）；
当PC=OC=3时，则x2+（-
x+3-3）2=32，
解得x1=
（舍去），x2=-
，
∴-
x+3=-
×（-
）+3=
+3，
∴点Q2的纵坐标为
+3-3=
，
∴Q2（-
，
）；
Ⅱ）如果OC为菱形的一条对角线，那么OC垂直平分PQ，设OC与PQ交于点O′，则O′Q=O′P=
OA=3，
∴-
x+3=-
×3+3=
，
∴Q3（-3，
）．
综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标是：Q1（
，
），Q2（-
，
），Q3（-3，
）．
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∴k=8；
（2）设点M的坐标为（x，x），依题意得
x=-
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即正方形OCMN的边长为
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（3）①设C（0，n）．
∵直线y=-
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∴A（6，0）．
∵S△AOC+S△ABC=S△AOB，
∴
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解得n=3，
∴C点坐标为（0，3）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，
∵A（6，0），C（0，3），
∴
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解得
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∴直线AC的解析式为y=-
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②存在．设P点坐标为（x，-| 1 |
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分两种情况：
Ⅰ）如果OC为菱形的一条边，那么OP=OC=3或PC=OC=3．
当OP=OC=3时，则x2+（-
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解得x1=0（舍去），x2=
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∴点Q1的纵坐标为
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∴Q1（
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当PC=OC=3时，则x2+（-
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解得x1=
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∴点Q2的纵坐标为
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3
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∴Q2（-
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Ⅱ）如果OC为菱形的一条对角线，那么OC垂直平分PQ，设OC与PQ交于点O′，则O′Q=O′P=
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∴-
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∴Q3（-3，
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综上所述，存在符合条件的点Q，点Q的坐标是：Q1（
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点评：本题是一次函数综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，翻折的性质，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，菱形的性质．综合性较强，有一定难度．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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A、
| |||
B、
| |||
C、
| |||
| D、（-3）2=9 |
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