Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，?OABC的顶点A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），将?OABC绕点O逆时针方向旋转得到?OA′B′C′，当点C′落在BC的延长线上时，线段OA′交BC于点E，则线段C′E的长度为

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,坐标与图形变化-旋转

专题：

分析：如图，过点C作CD⊥OC′于点D．利用旋转的性质和面积法求得OD=

6

10

，然后通过解直角三角形推知：tan∠COC′=

3

4

．结合图形和旋转的性质得到∠COC′=∠AOE，自点E向x轴引垂线，交x轴于点F．则EF=3．利用等角的正切值相等tan∠AOE=tan∠COC′=

EF

OF

=

3

4

．易求OF的长度，则C′E=O′E+O′C=4+1=5．

解答：解：∵OC=OC′，CC′⊥y轴，A，B的坐标分别为（6，0），（7，3），
∴点C到y轴的距离：7-6=1．
∴O′C=O′C′=1，O点到CC′的距离是3，
∴OD=DC′=

10

，S_△OCC′=

1

2

×2×3=3．
如图，过点C作CD⊥OC′于点D．则

1

2

OD•C′D=3，
∴OD=

6

10

，sin∠COC′=

OD

OC

=

3

5

，tan∠COC′=

3

4

．
∵∠COC′+∠COE=∠AOE+∠COE，
∴∠COC′=∠AOE，
∴tan∠AOE=tan∠COC′=

3

4

．
自点E向x轴引垂线，交x轴于点F．则EF=3．
∵tan∠AOE=

EF

OF

，
∴OF=

EF

tan∠AOE

=4，
∵OF=O′E=4，
∴C′E=O′E+O′C′=4+1=5．
故答案是：5．

点评：本题考查了平行四边形的性质和旋转的性质．根据题意作出辅助线是解题的关键与难点．