Question

20．已知a、b、c是△ABC的三条边，方程（b+c）x²+$\sqrt{2}$（a-c）x-$\frac{3}{4}$（a-c）=0有两个相等的实数根．试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 由根的判别式△=[$\sqrt{2}$（a-c）]²-4（b+c）[-$\frac{3}{4}$（a-c）]=0，整理得出（a-c）（2a+3b+c）=0，得出a=c，判定△ABC的形状即可．

解答 解：∵方程（b+c）x²+$\sqrt{2}$（a-c）x-$\frac{3}{4}$（a-c）=0有两个相等的实数根，
∴△=[$\sqrt{2}$（a-c）]²-4（b+c）[-$\frac{3}{4}$（a-c）]=0，
∴（a-c）（2a+3b+c）=0，
∵a、b、c是△ABC的三条边，
∴a-c=0，a=c，
∴△ABC是等腰三角形．

点评 此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根，关键是根据判别式和已知条件求出a，b，c的关系．