Question

14．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC．

（1）如图（1），AD⊥BC于D，若∠C=75°，∠B=35°，求∠EAD；
（2）如图（1），AD⊥BC于D，猜想∠EAD与∠B，∠C有什么数量关系？请说明你的理由；
（3）如图（2），F为AE上一点，FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有什么数量关系？∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）；（不用证明）
（4）如图（3），F为AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D，这时∠AFD与∠B、∠C又有什么数量关系？∠AFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．（不用证明）

Answer 1

分析 （1）由内角和定理得∠BAC=70°，由角平分线性质得∠EAC=35°，再根据直角三角形的性质可得∠DAC=15°，从而由∠EAD=∠EAC-∠DAC可得答案；
（2）由AE平分∠BAC得∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，由∠BAC=180°-∠B-∠C得∠EAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C，根据∠EAD=∠EAC-∠DAC可得答案；
（3）AG⊥BC于G，则FD∥AG可得∠EFD=∠EAG，由（2）知∠EAG=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），即可得答案；
（4）作AG⊥BC于G，与（3）同理．

解答 解：（1）∵∠C=75°，∠B=35°，
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=35°，
又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90°-∠C=15°，
则∠EAD=∠EAC-∠DAC=20°；

（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C，

∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）；

（3）如图②，过A作AG⊥BC于G，由（2）知，∠EAG=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），

∵AG⊥BC，
∴∠AGC=90°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDG=90°，
∴∠AGC=∠FDG，
∴FD∥AG，
∴∠EFD=∠EAG，
∴∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），
故答案为：∠EFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）；

（4）如图③，过A作AG⊥BC于G，由（1）知，∠EAG=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），

∵AG⊥BC，
∠AGB=90°，
∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴∠AGC=∠FDC，
∴FD∥AG，
∴∠AFD=∠EAG，
∴∠AFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B），
故答案为：∠AFD=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．

点评 本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．