Question

3．如图1，在四边形ABCD中，已知：AD=BC，点E、F分别是AB、CD的中点，AB、CD的垂直平分线交于点G，连接AG、BG、CG、DG．
（1）求证：∠AGD=∠BGC；
（2）求证：△AGD∽△EGF；
（3）如图2，连接BF、ED，求证：S_△GBF=S_△GED．

Answer 1

分析 （1）由GE是AB的垂直平分线，得到GA=GB，同理：GD=GC，根据全等三角形的性质即刻得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{EG}{FG}=\frac{GA}{GD}$，根据相似三角形的判定定理即刻得到结论；
（3）根据相似三角形的性质得到$\frac{GB}{GD}=\frac{GE}{GF}$，即 GB•GF=GE•GD，由于S_△GBF=$\frac{1}{2}$GB•GF•sin∠BGF，S_△GED=$\frac{1}{2}$GE•GD•sin∠EGD，于是得到结论．

解答 解：（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，
∴GA=GB，
同理：GD=GC，
在△AGD和△BGC中，$\left\{{\begin{array}{l}{GA=GB}\\{GD=GC}\\{AD=BC}\end{array}}\right.$，
∴△AGD≌△BGC（SSS），
∴∠AGD=∠BGC；

（2）证明：∵∠AGD=∠BGC，
∴∠AGB=∠DGC，
在△AGB和△DGC中，$\frac{GA}{GD}=\frac{GB}{GC}$，
∴△AGB∽△DGC，$\frac{EG}{FG}=\frac{GA}{GD}$，
又∵∠AGE=∠DGF，
∴∠AGD=∠EGF，
∴△AGD∽△EGF；

（3）∵△GAB∽△GCD，
∴$\frac{GB}{GD}=\frac{GE}{GF}$，即 GB•GF=GE•GD，
∵GE垂直平分AB，
∴AG=BG，
∴∠AGE=∠BGE，
∵∠AGD=∠EGF，
∴∠DGE=∠BGF，
∵S_△GBF=$\frac{1}{2}$GB•GF•sin∠BGF，S_△GED=$\frac{1}{2}$GE•GD•sin∠EGD，
∴S_△GBF=S_△GED．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，线段垂直平分线的性质，证得△GAB∽△GCD是解题的关键．