Question

19．已知两半径不等的⊙O₁与⊙O₂相交于点M和N．且⊙O₁、⊙O₂分别与⊙O内切于S、T，求证：当ST+NT=ST时，OM⊥MN．

Answer 1

分析 如图，设⊙O₁，⊙O₂，⊙O的半径为r₁，r₂，r，由⊙O₁、⊙O₂分别与⊙O内切于S、T，得到O，O₁，S三点共线，O，O₂，T三点共线，OS=OT=r，根据已知条件得到S，N，T三点共线，根据等腰三角形的性质得到∠S=∠O₁NS=∠T=∠O₂NT，推出四边形OO₁NO₂为平行四边形，根据平行四边形的性质得到OO₁=O₂N=r₂=MO₂，OO₂=O₁N=r₁=MO₁，根据全等三角形的性质得到S${\;}_{△{O}_{1}MO}$=S${\;}_{△{O}_{2}OM}$，根据同底等高的三角形的面积和平行线间的距离相等得到OM∥O₁O₂，于是得到结论．

解答 证明：如图，设⊙O₁，⊙O₂，⊙O的半径为r₁，r₂，r，
∵⊙O₁、⊙O₂分别与⊙O内切于S、T，
∴O，O₁，S三点共线，O，O₂，T三点共线，OS=OT=r，
∵SN+NT=ST，
∴S，N，T三点共线，
∴∠S=∠T，
∵△O₁SN与△O₂NT为等腰三角形，
∴∠S=∠O₁NS，∠T=∠O₂NT，
∴∠S=∠O₁NS=∠T=∠O₂NT，
∴O₂N∥OS，O₁N∥OT，
∴四边形OO₁NO₂为平行四边形，
∴OO₁=O₂N=r₂=MO₂，OO₂=O₁N=r₁=MO₁，
在△O₁MO与△O₂OM中，$\left\{\begin{array}{l}{O{O}_{1}=M{O}_{2}}\\{O{O}_{2}=M{O}_{1}}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△O₁MO≌△O₂OM，
∴S${\;}_{△{O}_{1}MO}$=S${\;}_{△{O}_{2}OM}$，
∴OM∥O₁O₂，
∵O₁O₂⊥MN，
∴OM⊥MN．

点评 本题考查了两圆的位置关系，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三点共线，正确的作出图形是解题的关键．