Question

7．如图，在平面直角坐标系中，△A0B是边长为3的等边三角形，直线l与x轴、0A、AB分别交于点C、D、E，0C=AE．过点E作EF∥0A，交x轴于点F．
（1）点A的坐标为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；（结果保留根号）
（2）求证：点C、F关于y轴对称；
（3）若AD=EF．求直线l对应的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）过点A作AM⊥x轴于点M，根据等边三角形的性质可知：AO=3、∠AOM=60°，在Rt△AMO中利用30°角的对边为斜边的一半结合勾股定理可求出AM、OM的长，从而得出点A的坐标；
（2）由EF∥0A利用平行线的性质可得出∠BFE=∠BOA=60°，结合∠OBA=60°可得出△BEF为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出BE=BF可得出BE=BF、BO=BA，进而即可得出AE=OF，再由OC=AE即可得出OC=OF，从而证出点C、F关于y轴对称；
（3）设OC=OF=x，根据边与边的关系找出∠OCD=∠ODC，再根据平行线的性质即可得出∠CEF=∠CDO=∠ECF，进而可得出CF=EF，由此即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可求出x的值，进而可得出点C、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线l对应的函数表达式．

解答 解：（1）过点A作AM⊥x轴于点M，如图1所示．

∵△A0B是边长为3的等边三角形，
∴AB=OB=OA=3，且∠AOM=60°．
在Rt△AMO中，OA=3，∠AOM=60°，
∴∠OAM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，AM=$\sqrt{O{A}^{2}-O{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴点A的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）．
（2）证明：若证C、F关于y轴对称，只需证OC=OF即可．
∵EF∥OA，
∴∠BFE=∠BOA=60°，
∵∠OBA=60°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE=BF．
∵△AOB是等边三角形，
∴BO=BA，
∴AE=AB-BE=OB-BE=OF，
又∵0C=AE，
∴OC=OF．
∴点C、F关于y轴对称．
（3）设OC=OF=x，
∵OB=3，
∴BF=EF=3-x，
∵AD=EF，
∴AD=3-x．
∵OA=3，
∴OD=x，
∴∠OCD=∠ODC．
∵OA∥EF，
∴∠CEF=∠CDO=∠ECF，
∴EF=CF，即3-x=2x，
解得：x=1，
∴点C的坐标为（-1，0），点D的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设直线l对应的函数表达式为y=kx+b，
将点C（-1，0）、点D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入直线l对应的函数表达式中，
得$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$．
故直线l对应的函数表达式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形以及待定系数法求函数解析式，解题的关键：（1）在Rt△AMO中求出AM、OM的长；（2）证出AE=OF；（3）求出点C、D的坐标．本题属于中档题，整体难度不大，解决该题型题目时，根据等边（等腰）三角形的性质找出相等的边，再通过30°角以及勾股定理找出各边长是解题的关键．