Question

17．如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=$\frac{2}{x}$于点D，从点D分别作两坐标轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接BC、OD．
（1）当b=-1时，求出点D坐标并判断四边形OBCD的形状；
（2）当b为任意实数时（b≠0），
①求证：AD平分∠CDE；
②求AD•BD的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意列出方程组求出点D的坐标，得到DC=1，根据直线与坐标轴的交点的求法求出OB，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）①根据等腰直角三角形的性质解答；
②根据等腰三角形的性质分别求出AD、BD的长，计算即可．

解答 解：（1）由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∵点D在第一象限，
∴点D的坐标为（2，1），
∴DC=1，
∵直线y=x-1与y轴的交点坐标为（0，-1），
∴OB=1，
∴DC=OB，又DC∥OB，
∴四边形OBCD是平行四边形；
（2）①直线y=x-1与x轴的交点坐标为（1，0），
∴OA=OB，
∴∠ABO=45°，
∴∠EDB=45°，又∠EDC=90°，
∴∠CDB=45°，
∴∠EDB=∠CDB，即AD平分∠CDE；
②设点D的坐标为：（m，$\frac{2}{m}$），
∵∠CDB=45°，
∴AD=$\frac{2\sqrt{2}}{m}$，
∵DE=m，∠EDB=45°，
∴BD=$\sqrt{2}$m，
∴AD•BD=$\frac{2\sqrt{2}}{m}$×$\sqrt{2}$m=4．

点评 本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数与反比例函数的交点的求法、角平分线的判定、等腰直角三角形的性质以及平行四边形的判定定理是解题的关键．