Question

2．如图，抛物线y=-x²+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连接BE交MN于点F．
（1）求顶点M的坐标（用含c的代数式表示）；
（2）若△EMF与△BNF的面积相等，求该抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点坐标公式即可得出结果；
（2）由平行线的性质得出△MEF∽△NBF，由已知条件得出△EMF≌△BNF，得出BN=ME=1，因此B（2，0），代入抛物线解析式求出c=0，即可得出结果．

解答 解：（1）抛物线y=-x²+2x+c，
-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{2}{-2}$=1，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{-4c-4}{-4}$=-c+1，
∴N（1，c+1）；
（2）∵NE∥BN，
∴△MEF∽△NBF，
∵△EMF与△BNF的面积相等，
∴相似比为1，
∴△EMF≌△BNF，
∴BN=ME=1，
∴B（2，0），代入抛物线解析式得：0=-4+4+c，
解得：c=0，
∴y=-x²+2x．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标公式、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、抛物线解析式的求法；由已知条件得出BN=ME=1是解决问题（2）的关键．