题目内容
5．图形变换中的数学，问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，连接CD．探索发现：（1）如图①，BC与BD的数量关系是BC=BD；
猜想验证：
（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图象，并直接写出BF、BP、BD三者之间的数量关系．
分析 （1）利用含30°的直角三角形的性质得出BC=$\frac{1}{2}$AB，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出BC=BD进而得出△BCD是等边三角形，进而判断出△DCP≌△DBF得出CP=BF即可得出结论；
（3）同（2）的方法得出结论．
解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
故答案为：BC=BD；
（2）BF+BP=BD，
理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠CDB=60°，DC=DB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP+BP=BC，
∴BF+BP=BC，
∵BC=BD，
∴BF+BP=BD；
（3）如图③，
BF=BD+BP，
理由：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBA=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵点D是AB的中点，
∴BC=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠CDB=60°，DC=DB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠CDB+∠PDB=∠PDF+∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
∵CP=BC+BP，
∴BF=BC+BP，
∵BC=BD，
∴BF=BD+BP．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了含30°的直角三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出△DCP≌△DBF，是一道中等难度的中考常考题．
备战中考寒假系列答案
已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，D是弧BC上的一点，CD=AE，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．
如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为（1，6）．
如图，方格图中小正方形的边长为1．将方格图中阴影部分图形剪下来，再把剪下的阴影部分重新剪拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么所拼成的这个正方形的边长为$\sqrt{6}$．
如图所示，直线AC：y=-2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2 +bx+c（a＞0）过A，C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．| A． | 3 | B． | 2 | C． | 1 | D． | -3 |