Question

8．设直线nx+（n+1）y=$\sqrt{2}$（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为S_n，则S₁+S₂+…+S₂₀₁₆的值为$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 先利用坐标轴上点的坐标特征求出直线与x轴和y轴的坐标，则利用三角形面积公式得到S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$，再分别计算出S₁，S₂，S₃，S₂₀₁₅，然后利用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$求它们的和．

解答 解：当x=0时，y=$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$，则直线与y轴的交点坐标为（0，$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$），
当y=0时，x=$\frac{\sqrt{2}}{n}$，则直线与x轴的交点坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{n}$，0），
所以S_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{n}$•$\frac{\sqrt{2}}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
当n=1时，S₁=$\frac{1}{1×2}$，
当n=2时，S₂=$\frac{1}{2×3}$，
当n=3时，S₃=$\frac{1}{3×4}$，
…
当n=2016时，S₂₀₁₆=$\frac{1}{2016×2017}$，
所以S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₅=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，解决此类问题时求出直线与坐标轴的交点坐标．熟练运用$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$是解决此题的关键．