Question

10．已知a、b是正实数，那么，$\frac{a+b}{2}$$≥\sqrt{ab}$是恒成立的．
（1）由（$\sqrt{a}-\sqrt{b}$）²≥0恒成立，请你说明$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$恒成立．
（2）如图，已知AB是直径，点P是弧上异于点A和点B的一点，PC⊥AB，垂足为C，AC=a，BC=b，由此图说明$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）已知不等式左边利用完全平方公式化简，整理即可得证；
（2）连接OP，利用直径所对的圆周角为直角且PC与AB垂直，得到三角形APC与三角形PBC相似，由相似得比例表示出PC，根据垂线段最短即可得证．

解答 解：（1）由（$\sqrt{a}-\sqrt{b}$）²≥0，得到a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，
于是a+b≥2$\sqrt{ab}$，
则$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$；
（2）连接OP，
∵AB为直径，
∴∠APB=90°，
∵PC⊥AB，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{CB}{PC}$，即PC²=AC•CB=ab，
∴PC=$\sqrt{ab}$，
∵PO=$\frac{a+b}{2}$，
由垂线段最短得到PO≥PC，
则$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．