Question

2．若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2称第1次操作，再将图2中的每一段类似变形，得到图3即第2次操作，按上述方法继续得到图4为第3次操作，则第4次操作后折线的总长度为$\frac{64}{27}$．

Answer 1

分析 在图2中，折线的长度为：1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$；在图3中，折线的长度为：$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{16}{9}$；在图4中，折线的长度为：$\frac{16}{9}$+$\frac{16}{9}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{64}{27}$，从而可求出折线的总长度．

解答 解：由题意得：在图2中，折线的长度为：1+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$；
在图3中，折线的长度为：$\frac{4}{3}$+$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{16}{9}$；
在图4中，折线的长度为：$\frac{16}{9}$+$\frac{16}{9}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{64}{27}$．
则第4次操作后折线的总长度为$\frac{64}{27}$+$\frac{64}{27}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{256}{81}$．

点评 此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，其关键是读懂题意，找出规律解答．