Question

13．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，点M，N，E，F分别是BD，AC，BC，MN的中点，连接ME，NE．
（1）试猜想△MEN的形状，并证明你的猜想正确；
（2）EF与MN有何位置关系？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位线定理得到ME=$\frac{1}{2}$CD，NE=$\frac{1}{2}$AB，结合“AB=CD”推知△MEN是等腰三角形；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质证得EF⊥MN．

解答 解：（1）△MEN是等腰三角形．理由如下：
∵点M是BD的中点，
∴ME是△BCD的中位线，
∴ME=$\frac{1}{2}$CD．
同理，NE=$\frac{1}{2}$AB．
又∵AB=CD，
∴ME=NE，
∴△MEN是等腰三角形；

（2）EF⊥MN．理由如下：
由（1）知，△MEN是等腰三角形．
∵F是MN的中点，
∴EF⊥MN．

点评 本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．