Question

3．在一次“探究性学习”课中，老师设计如下数表：

n	2	3	4	5	6	…
a	22-1	32-1	42-1	52-1	62-1	…
b	4	6	8	10	12	…
c	22+1	32+1	42+1	52+1	62+1	…

（1）观察表格，根据规律在表中填空．
（2）用含自然数n（n＞1）的代数式表示a、b、c，则a=n²-1，b=2n，c=n²+1．
（3）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）观察表格，即可得出n=6时a、b、c的值；
（2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是n²，加减1，即可得出答案；
（3）利用完全平方公式计算出a²+b²的值，以及c²的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．

解答 解：（1）由图表可以得出：
∵n=2时，a=2²-1，b=2×2，c=2²+1，
n=3时，a=3²-1，b=2×3，c=3²+1，
n=4时，a=4²-1，b=2×4，c=4²+1，
n=5时，a=5²-1，b=2×5，c=5²+1，
∴n=6时，a=6²-1，b=12，c=6²+1；

（2）a=n²-1，b=2n，c=n²+1；

（3）以a，b，c为边的三角形是直角三角形．理由如下：
∵a²+b²=（n²-1）+（2n）²=n⁴-2n²+1+4n²=（n²+1）²=c²，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
故答案为6²-1，12，6²+1；n²-1，2n，n²+1．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题．