题目内容
1．
如图，平行四边形ABCD，AB=CD=9，AD=BC=5，（AB∥CD，AD∥BC），CE⊥AB于E，并且BE=3，CE=4．（1）请你以AB所在直线为x轴，点A为原点建立平面直角坐标系，并直接写出点A、B、C、D的坐标．
（2）在（1）的条件下，点P从点A出发向终点B运动，Q点从C点出发，同时向终点D运动，设P点运动速度为2cm/s，Q点运动速度为1cm/s，设运动时间为x秒，当x为何值时，线段PQ最短．
（3）在（2）的下，点P、Q出发多少秒时，PQ∥AD？请求出运动时间，并说明此时PQ∥AD的理由．
分析 （1）以AB所在直线为x轴，点A为原点建立平面直角坐标系，根据点A、B、C、D的位置写出坐标即可；
（2）当PQ⊥AB时，线段PQ最短，根据四边形CEPQ是平行四边形，得出CQ=PE，列出方程x=6-2x，求得x的值即可；
（3）当AD∥PQ时，四边形ADQP是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，DQ=AP，据此列出方程9-x=2x，求得x的值即可．
解答 解：（1）如图所示，以AB所在直线为x轴，点A为原点建立平面直角坐标系，
∵AB=CD=9，AD=BC=5，CE⊥AB于E，且BE=3，CE=4，
∴A（0，0），B（-9，0），C（-6，4），D（3，4）．
（2）由题可得，AP=2x，CQ=x，
∵AB=9，BE=3，
∴PE=6-2x，
∵如图所示，当PQ⊥AB时，线段PQ最短，
∴此时，PQ∥CE，
又∵CQ∥PE，
∴四边形CEPQ是平行四边形，
∴CQ=PE，
∴x=6-2x，
解得x=2，
∴当x为2秒时，线段PQ最短．
（3）由题可得，AP=2x，CQ=x，
∵AB=CD=9，
∴DQ=9-x，
∵DQ∥AP，
∴如图所示，当AD∥PQ时，四边形ADQP是平行四边形，
此时，DQ=AP，
∴9-x=2x，
∴x=3，
∴点P、Q出发3秒时，PQ∥AD．
点评 本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解决问题的关键是根据平行四边形的对边相等，列出方程进行求解．解题时注意：要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
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