Question

11．设M（p，q）为二次函数y=mx²-（m+1）x+1图象上的一个动点，当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线y=-x-1的下方，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据题意可知，存在两种情况，m＞0或m＜0，然后根据题目中的信息分别讨论m的求值范围，本题得以解决．

解答 解：∵y=mx²-（m+1）x+1=（mx-1）（x-1），
∴y=0时，${x}_{1}=\frac{1}{m}，{x}_{2}=1$，
∵点M关于x轴的对称点都在直线y=-x-1的下方，M（p，q）为二次函数y=mx²-（m+1）x+1图象上的一个动点，
当m＞0，-3＜p＜0时，-[mp²-（m+1）p+1]＜-p-1，
解得，m＞$\frac{2}{p-1}$，
∵m＞0，-3＜p＜0，则$\frac{2}{p-1}＜0$，
∴m＞0；
当m＜0，-3＜p＜0时，-[mp²-（m+1）p+1]＜-p-1，
解得，m$＜\frac{2}{p-1}$，
∵m＜0，-3＜p＜0时，则$\frac{2}{p-1}＜0$，
∴m＜$\frac{2}{p-2}$；
由上可得，m的取值范围是m＞0或m＜$\frac{2}{p-2}$．

点评 本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．