Question

20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-4（m≠0）的顶点为A，与x轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．
（1）求点A的坐标；
（2）若BC=4，
①求抛物线的解析式；
②将抛物线在C，D之间的部分记为图象G（包含C，D两点）．若过点A的直线y=kx+b（k≠0）与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把一般式配成顶点式即可得到A点坐标；
（2）已知BC=4，由（1）可知抛物线对称轴为x=1，所以可知B点坐标，将其代入抛物线方程可求得m的值，于是得到抛物线解析式；
②由m=1即可得到B（-1，0），C（3，0），再求出D（0，-3），画出抛物线，通过画图可得当k＞0时，直线y=kx+b过A、C时，k最大；当k＜0，直线y=kx+b过A、D时，k最大，然后分别求出两直线解析式即可得到k的范围．

解答 解：（1）y=mx²-2mx+m-4=m（x-1）²-4，
所以抛物线的顶点A的坐标为（1，-4）；

（2）①∵BC=4，抛物线的对称轴为x=1，点B在点C左侧，
∴点B坐标为（-1，0），点C坐标为（3，0），
将B（-1，0）代入y=m（x-1）²-4，得：0=4m-4，解得m=1
所以抛物线的解析式为y=（x-1）²-4=x²-2x-3；

②B（-1，0），C（3，0），
当x=0时，y=x²-2x-3=-3，则D（0，-3），如图，
当直线y=kx+b过A、C时，直线解析式为y=2x-6；
当直线y=kx+b过A、D时，直线解析式为y=-x-3，
所以若过点A的直线y=kx+b（k≠0）与图象G有两个交点，k的取值范围为0＜k≤2或-1≤k＜0．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质．