Question

19．已知平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，在直线BA上截取BF=2AF，EF交BD于点G，则$\frac{GD}{GB}$的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质易证两三角形相似，但是由于点F的位置未定，需分类讨论．分两种情况：（1）点F在线段AB上时；（2）点F在线段BA的延长线上时．

解答 解：（1）如图1，点F在线段AB上时，设EF与DA的延长线交于H，
∵BC∥AD，
∴△EBF∽△HAF，
∴HA：BE=AF：BF=1：2，
即HA=$\frac{1}{2}$BE
∵BC∥AD，
∴△DHG∽△BEG，
∴BG：DG=BE：DH
∵BC=AD=2BE，
∴DH=AD+AH=2BE+$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5}{2}$BE，
∴$\frac{GD}{GB}$=$\frac{5}{2}$；

（2）如图2，点F在线段BA的延长线上时，设EF与DA交于H，
∵BC∥AD，
∴△EBF∽△HAF，
∴HA：BE=AF：BF=1：2，
即HA=$\frac{1}{2}$BE，
∵BC∥AD，
∴△DHG∽△BEG，
∴BG：DG=BE：DH
∵BC=AD=2BE，
∴DH=AD+AH=2BE-$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3}{2}$BE，
∴$\frac{GD}{GB}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．