Question

12．如图，等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D点，DE⊥BC．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）如果⊙O的直径是5，DE=2，求tanC的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，易证∠C=∠ADO，所以OD∥BC，从而可知∠ODE=∠DEC=90°，
（2）连接DB，可证明∠DBE=∠CDE，从而可知△DBE∽△CDE，根据相似三角形的性质可知DE²=CE•BE，设CE=x，列出方程即可求出x的值，从而求出tanC的值．

解答 解：（1）连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠C=∠ADO，
∴OD∥BC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线

（2）连接DB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴BC=5，
设CE=x，
∴BE=5-x，
∵∠BDE+∠DBE=∠BDE+∠CDE=90°，
∴∠DBE=∠CDE，
∴△DBE∽△CDE，
∴$\frac{DE}{CE}=\frac{BE}{DE}$，
∴DE²=CE•BE，
∴4=x（5-x）
∴x=1或x=4，
∴tanC=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{1}{2}$或2

点评 本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，解方程，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，本题属于中等题型．