Question

8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D．过C点的切线交AB的延长线于点P，若BP=1，CP=$\sqrt{3}$．若M为AC上一动点，则OM+DM的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 作O关于AC的对称点E，连接ED交AC于M，此时OM+DM为最小；作辅助线，构建直角三角形，先利用勾股定理求出圆的半径为1，再利用直角三角形斜边上的中线的性质得：△OCB是等边三角形，则∠COB=60°，得出∠A=30°，依次求出各边的长，最后在直角△EFD中，利用勾股定理求出DE的长，就是OM+DM的最小值．

解答 解：连接OC，
设⊙O的半径为r，则OC=OB=r，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90°，
由勾股定理得：OC²+PC²=OP²，
∴${r}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}=（r+1）^{2}$，
∴r=1，
连接BC，作O关于AC的对称点E，交AC于N，连接DE交AC于M，过E作EF⊥AB于F，连接OM，
此时OM+DM为最小，则AC是OE的中垂线，
∴OM=EM，
∴OM+DM=EM+DM=DE，
在Rt△OCP中，OB=BP=1，
∴BC=$\frac{1}{2}$OP=1，
∴△OCB是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
在Rt△ANO中，ON=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，
∴EN=ON=$\frac{1}{2}$，
∴OE=1，
即E在⊙O上，
Rt△EFO中，∠AOE=60°，
∴∠FEO=30°，
∴FO=$\frac{1}{2}$EO=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：EF=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°，
∵∠COD=60°，
∴∠OCD=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，
∴FD=OF+OD=1，
由勾股定理得：ED=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
即OM+DM的最小值为$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质、勾股定理以及轴对称的最短路径问题，此类问题的解题思路为：先找到最小值时，动点的位置：即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点；再根据切线的性质和圆的其他性质以及勾股定理求出结论．