Question

3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值．若不存在，请说明理由？
（3）当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

Answer 1

分析 （1）根据点P到点A、点B的距离相等，结合数轴可得答案；
（2）此题要分两种情况：①当P在AB左侧时，②当P在AB右侧时，然后再列出方程求解即可；
（3）点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢．故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A．P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论．

解答 解：（1）如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PA．

依题意得3-x=x-（-1），
解得x=1；
（2）由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧．
①P在点A左侧，PA=-1-x，PB=3-x，
依题意得（-1-x）+（3-x）=5，
解得  x=-1.5；
②P在点B右侧，PA=x-（-1）=x+1，PB=x-3，
依题意得（x+1）+（x-3）=5，
解得x=3.5；

（3）设运动t分钟，此时P对应的数为-t，B对应的数为3-20t，A对应的数为-1-5t．
①B未追上A时，PA=PA，则P为AB中点．B在P的右侧，A在P的左侧．
PA=-t-（-1-5t）=1+4t，PB=3-20t-（-t）=3-19t，
依题意有1+4t=3-19t，
解得 t=$\frac{2}{23}$；
②B追上A时，A、B重合，此时PA=PB．A、B表示同一个数．
依题意有-1-5t=3-20t，
解得t=$\frac{4}{15}$．
即运动$\frac{2}{23}$或$\frac{4}{15}$分钟时，P到A、B的距离相等．

点评 此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程．