Question

△ABC是直角三角形，其中∠ACB=90°，AB=13，BC=12，AC=5，把△ABC绕A顺时针方向旋转90°后得到△AB₁C₁，此时∠BAB₁=∠CAC₁=90°，求线段BC在上述旋转过程中所扫过部分的周长、面积．（结果保留π）

Answer 1

考点：旋转的性质,弧长的计算,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：画出几何图形，以点A为圆心，AC为半径的弧交AB于E，交AB₁于F，根据旋转的性质得B₁C₁=BC=12，∠BAB₁=∠CAC₁=90°，△ABC≌△AB₁C₁，再利用弧长公式计算出弧CC₁的长度为

5

2

π，弧BB₁的长度为

13

2

π，所以线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长=CB+弧BB₁的长+B₁C₁+弧CC₁的长=24+9π；由于△ABC≌△AB₁C₁，则∠BAC=∠B₁AC₁，所以S_扇形CAE=S_扇形C1AF，然后利用扇形面积公式和线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积=S_扇形BAB1-S_扇形EAF进行计算．

解答：解：以点A为圆心，AC为半径的弧交AB于E，交AB₁于F，如图，
∵△ABC绕A顺时针方向旋转90°后得到△AB₁C₁，
∴B₁C₁=BC=12，∠BAB₁=∠CAC₁=90°，△ABC≌△AB₁C₁，
∴弧CC₁的长度=

90•π•5

180

=

5

2

π，弧BB₁的长度=

90•π•13

180

=

13

2

π，
∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的周长=CB+弧BB₁的长+B₁C₁+弧CC₁的长
=12+

13

2

π+12+

5

2

π
=24+9π；
∵△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，
∴S_扇形CAE=S_扇形C1AF，
∴线段BC在旋转过程中所扫过部分的面积=S_扇形BAB1-S_扇形EAF
=

90•π•132

360

-

90•π•52

360

=36π．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长公式和扇形的面积公式，会利用面积的和差计算不规则图形的面积．