Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，0），B（0，2），点C在第一象限，且满足∠ABC=135°，AC交y轴于点D，CD=3AD．
（1）求tan∠ABO的值；
（2）求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABO中，根据三角函数的定义即刻得到结论；
（2）过O作OH⊥AB于H，得到AH=BH=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，根据已知条件得到B，H，A，O四点共圆，连接OH，推出H在第二象限角平分线上，作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，根据全等三角形的性质得到AM=BN=$\frac{1}{2}$，求得直线HB的解析式，于是得到结论．

解答 解：（1）在Rt△ABO中，AO=1，BO=2，
∴tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$；
（2）∵AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
过O作OH⊥AB于H，
∵∠ABC=135°，
∴∠HBA=HAB=45°，
∴AH=BH=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵BH⊥AH，BO⊥AO，
∴B，H，A，O四点共圆，
连接OH，
∴∠BOH=∠BAH=45°，
∴H在第二象限角平分线上，
作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，
则四边形HMON是正方形，
∴HN=HN，
在Rt△AHM与Rt△BHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{HM=HN}\\{AH=BH}\end{array}\right.$，
∴Rt△HAM≌Rt△HBN，
∴AM=BN，
∵OM=ON，
∴AM=BN=$\frac{1}{2}$，
∴H（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴直线BH的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2，
过C作CI⊥x轴于I，
∴OD∥CI，
∴$\frac{OA}{OI}=\frac{AD}{CD}$，
∴OI=3AO=3，
把x=3代入y=$\frac{1}{3}$x+2得y=3，
∴C点坐标为（3，3）．

点评 本题考查了解直角三角形，正方形的判定和性质，求函数的解析式，全等三角形的判断和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．