Question

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于点E，∠ADB=60°，且BD：ED=3：1，BD=12，求梯形ABCD的周长．

Answer 1

分析 根据已知条件得到DE=4，BE=8，根据等腰梯形的性质得到AC=BD，根据全等三角形的性质得到∠DAC=∠ADB=60°，得到AD=AE=DE=4，同理BC=BE=8，过A作AH⊥BD于H，解直角三角形得到DH=$\frac{1}{2}$AE=2，AH=2$\sqrt{3}$，AB=CD=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，于是得到结论．

解答 解：∵BD：ED=3：1，BD=12，
∴DE=4，BE=8，
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
在△ABD与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AD=AD}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△DAC，
∴∠DAC=∠ADB=60°，
∴AD=AE=DE=4，
同理BC=BE=8，
过A作AH⊥BD于H，
∴DH=$\frac{1}{2}$AE=2，AH=2$\sqrt{3}$，
∴BH=10，
∴AB=CD=$\sqrt{A{H}^{2}+B{H}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∴梯形ABCD的周长=2×4$\sqrt{7}$+4+8=14+4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了全等三角形的判断和性质，勾股定理，等腰梯形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．