Question

11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=6cm，AD=4cm，BC=20cm，∠C=60°．点P从点A出发沿折线AD→DC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点B出发，沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，P、Q同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t（s）．
（1）当点P在AD上运动时，如图（1），DE⊥CD，是否存在某一时刻t，使四边形PQED是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在DC上运动时，如图（2），设△PQC的面积为S，试求出S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使△PQC的面积是梯形ABCD的面积的$\frac{2}{9}$？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在（2）的条件下，设PQ的长为xcm，试确定S与x之间的关系式．

Answer 1

分析 （1）求出CE长度，根据平行四边形对边平行且相等，建立等量关系：PD=QE，根据题意建立方程求解即可；
（2）过点P作PM⊥BC，用t表示出CP，CQ，PM，进一步表示三角形面积即可；
（3）分情况表示出三角形PQC的面积，求出梯形面积，根据题意建立方程即可求解；
（4）求出x与t的关系，代入（2）中关系式即可求解．

解答 解：（1）不存在，理由如下：
∵DE⊥CD，∠C=60°，DC=6cm，
∴∠CED=30°，
∴CE=2CD=12，
设点P、Q运动的时间是t（s），PD=4-t，QE=BC-CE-BQ=20-12-2t=8-2t，
使四边形PQED是平行四边形，
有PD=QE，
∴4-t=8-2t，
解得：t=4，此时点P与点D重合，不能构成平行四边形；
（2）如图②

由题意可求：PC=10-t，QC=20-2t，
过点P作PM⊥BC，
∵∠C=60°，
∴$\frac{PM}{PC}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可求PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t），
∴S=$\frac{1}{2}$×（20-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-$10\sqrt{3}t$+$50\sqrt{3}$；
（3）如图3

过点D作DN⊥BC，
由DC=6，∠DCB=60°，可求：DN=$3\sqrt{3}$，
∴梯形ABCD的面积为：（4+20）×$3\sqrt{3}$÷2=$36\sqrt{3}$，
当t≤4时，QC=20-2t，
此时，△PQC的面积为：（20-2t）×$3\sqrt{3}$÷2，
由题意得：（20-2t）×$3\sqrt{3}$÷2=$36\sqrt{3}$×$\frac{2}{9}$，
解得：t=$\frac{22}{3}$（舍去）；
当4＜t≤10时，
由（2）知，△PQC的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-$10\sqrt{3}t$+$50\sqrt{3}$，
由题意：$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-$10\sqrt{3}t$+$50\sqrt{3}$=$36\sqrt{3}$×$\frac{2}{9}$，
解得：t=6，或t=14（舍去），
所以当t=6时，△PQC的面积是梯形ABCD的面积的$\frac{2}{9}$；
（4）如图②

由（2）知：PC=10-t，QC=20-2t，
过点P作PM⊥BC，
∵∠C=60°，
∴$\frac{PM}{PC}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
PM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t），
可求：CM=$\frac{1}{2}$（10-t），QM=QC-CM=$\frac{3}{2}$（10-t），
由勾股定理可求：PQ=$\sqrt{3}$（10-t），
当PQ=x时，$\sqrt{3}$（10-t）=x，解得：t=10-$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
∴S=$\frac{1}{2}$×（20-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-t）=$\frac{\sqrt{3}}{6}{x}^{2}$，

点评 此题主要考察四边形的综合问题，会根据平行四边形的性质研究点的存在问题，会用变量表示三角形面积，会运用方程解决相关问题是解题的关键．