Question

2．如图，在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，CM=3-$\sqrt{5}$，求AD的长．

Answer 1

分析 因为四边形ABMN为正方形，所以MN=BM=BC-CM，由MN是BC和CM的比例中项，CM=3-$\sqrt{5}$，设BC=x，解一元二次方程可得x，即得AD的长．

解答 解：∵四边形ABMN为正方形，
∴MN=BM=BC-CM，
∵MN是BC和CM的比例中项，
∴MN²=BC•CM，
∴（BC-CM）²=BC•CM，
∵CM=3$-\sqrt{5}$，
设BC=AD=x，
则x²-3x（3-$\sqrt{5}$）+${（3-\sqrt{5}）}^{2}$=0
解得：x₁=2，x₂=7-3$\sqrt{5}$（不合题意，舍去），
所以AD的长为2．

点评 本题主要考查了正方形的性质和比例中项，根据题意列出方程是解答此题的关键．