Question

13．如图1，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足（a+b）²+（a-4）²=0．
（1）如图1，若C的坐标为（-1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，求点P的坐标；
（2）如图2，在（1）的基础上连接OH，求证：∠AHO=45°．
（3）如图3，在线段OA上有一点E满足S_△OEB：S_△EAB=1：$\sqrt{2}$，直线AN平分△OAB的外角交BE的延长线于N，求∠N的度数．

Answer 1

分析 （1）先用非负性求出a，b，从而确定出直线BC的解析式，进而求出直线AH解析式，即可；
（2）先求出OG解析式，进而求出G坐标，即可求出OG和OH，用三角函数即可；
（3）先求出点E坐标，从而确定出直线BE解析式，设出点N坐标，用角平分线的性质即可求出m即可．

解答 解：（1）∵（a+b）²+（a-4）²=0．
∴a=4，b=-4，
∴A（4，0），B（0，-4），
∵C的坐标为（-1，0），
∴直线BC解析式为y=-4x-4，
∵AH⊥BC，
设直线AH解析式为y=$\frac{1}{4}$x+b，
∵A（4，0）在直线AH上，
∴1+b=0，
∴b=-1，
∴直线AH解析式为y=$\frac{1}{4}$x-1，
∴P（0，-1）；
（2）如图2，

由（1）知，直线BC解析式为y=-4x-4①，
直线AH解析式为y=$\frac{1}{4}$x-1②，
联立①②得H（-$\frac{12}{17}$，-$\frac{20}{17}$）
∴OH²=（-$\frac{12}{17}$）²+（-$\frac{20}{17}$）²=$\frac{544}{1{7}^{2}}$，
过点O作OG⊥AH，
∴OG∥BC，
∴直线OG解析式为y=-4x③，
由②③得，G（$\frac{4}{17}$，-$\frac{16}{17}$），
∴OG²=（$\frac{4}{17}$）²+（-$\frac{16}{17}$）²=$\frac{272}{1{7}^{2}}$，
∴$\frac{O{G}^{2}}{O{H}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OG}{OH}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sin∠AHO=$\frac{OG}{OH}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，=
∴∠AHO=45°，
（3）如图，

∵S_△OEB：S_△EAB=1：$\sqrt{2}$，
∴$\frac{OE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
由（1）知，OA=4，
∴OE=4（$\sqrt{2}-1$），
∴E（4（$\sqrt{2}$-1），0），
∴直线BE解析式为y=（$\sqrt{2}$+1）x-4，
设点N（m，（$\sqrt{2}$+1）m-4），（m＞0）
∴MN=（$\sqrt{2}$+1）m-4
∵A（4，0），B（0，-4），
∴直线AB解析式为y=x-4，
∴NG=$\frac{|m-（\sqrt{2}+1）m+4-4|}{\sqrt{2}}$=|m|=m，
∵点N在角平分线上，
∴MN=NG．
∴（$\sqrt{2}$+1）m-4=m，
∴m=2$\sqrt{2}$，
∴N（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

点评 此题三角形综合题，主要考查了非负性，待定系数法，直线的交点坐标，三角函数，角平分线的性质，解本题的关键是用三角函数求出∠AHO，难点是求出点N的坐标．