Question

3．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD•DC=BH•DG．

Answer 1

分析 （1）通过证明△ABF≌△CDE得到AB=CD，加上AB∥CD，则可判断四边形ABCD是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，再证明△CHG∽△DAG，利用相似比得到$\frac{CH}{AD}$=$\frac{CG}{DG}$，然后利用比例的性质和等线段代换即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AF∥EC，
∴∠AFB=∠CED，
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE，
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABF=∠CDE}\\{BF=DE}\\{∠AFB=∠CED}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，
而AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵CH∥AD，
∴△CHG∽△DAG，
∴$\frac{CH}{AD}$=$\frac{CG}{DG}$，
∴$\frac{CH+AD}{AD}$=$\frac{CG+DG}{DG}$，
即$\frac{BH}{AD}$=$\frac{CD}{DG}$，
∴AD•DC=BH•DG．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．