Question

8．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=6，AC=4，CD是△ABC的中线，将△ABC沿直线CD翻折，点B′是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果∠CAE=∠BAB′，那么CE的长是$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 先证明∠AB′B=90°，再证明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC=90°，利用面积法求出AE，再利用勾股定理求出EC即可．

解答 解：如图，∵△CDB′是由□CDB翻折，
∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CDB′，AD=DB=DB′，
∴∠DBB′=∠DB′B，
∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，
∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，
∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，
∴∠ABB′=∠ACE，
∵AD=DB=DB′=3，
∴∠AB′B=90°，
∵∠ACE=∠ABB′，∠CAE=∠BAB′，
∴△ACE∽△ABB′，
∴∠AEC=∠AB′B=90°，
在RT△AEC中，∵AC=4，AD=3，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}+A{D}^{2}}$=5，
∵$\frac{1}{2}$AC•AD=$\frac{1}{2}$•CD•AE，
∴AE=$\frac{AC•AD}{CD}$=$\frac{12}{5}$，
在RT△ACE中，CE=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$．
故答案为$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型．