Question

6．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC=$\sqrt{5}$，等腰直角△CDP中，且PB=$\sqrt{2}$．∠CPB=135°，将△CDP绕点C旋转，求BD的长．

Answer 1

分析 根据SAS证明△ACD≌△BCP，得出AD=BP=$\sqrt{2}$，∠ADC=∠BPC=135°．再分两种情况进行讨论：①如图1，证明A、D、P三点共线，△ABP是直角三角形，进而利用勾股定理求解；②如图2，证明B、P、D三点共线，△ABD是直角三角形，进而利用勾股定理求解．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠DCP=90°，
∴∠ACD=∠BCP．
在△ACD与△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCP}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=BP=$\sqrt{2}$，∠ADC=∠BPC=135°．
①如图1，∵△CDP是等腰直角三角形，
∴∠CPD=∠CDP=45°，
∴∠APB=∠CPB-∠CPD=90°，
∠CDP+∠ADC=45°+135°=180°，
∴A、D、P三点共线，△ABP是直角三角形．
∵等腰直角△ABC中，AC=BC=$\sqrt{5}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AC=$\sqrt{10}$，
∵△ABP中，∠APB=90°，PB=$\sqrt{2}$，
∴AP=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$，
∴DP=AP-AD=2$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{P}^{2}+D{P}^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2；
②如图2，同（1）可得B、P、D三点共线，△ABD是直角三角形，
则BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$．
综上所述，BD的长为2或2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明三点共线以及正确分类是解题的关键．