Question

11．如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A．
（1）求证：BE=AF；
（2）设BD与EF交于点M，联结AE交BD于点N，求证：BN•MD=BD•ND．

Answer 1

分析 （1）先证明四边形ADEF为平行四边形得到AF=DE，再证明∠DBE=∠BDE得到BE=DE，则BE=AF；
（2）如图，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥AC得到AF：AB=DM：BD，等线段代换得DE：AB=DM：BD，再由DE∥AB得到DE：AB=DN：BN，则DM：BD=DN：BN，然后利用比例的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵DE∥AB，
∴∠A+∠ADE=180°，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF+∠ADE=180°，
∴EF∥AD，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AF=DE，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠ABD，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=AF；
（2）如图，∵EF∥AC，
∴AF：AB=DM：BD，
∵AF=DE，
∴DE：AB=DM：BD，
∵DE∥AB，
∴DE：AB=DN：BN，
∴DM：BD=DN：BN，
即BN•MD=BD•ND．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是灵活应用平行线分线段成比例定理．