Question

4．在平面直角坐标系xOy中，把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知直线y=-kx+4k（k为正整数）与x轴交于点A，与y轴交于点B，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．①当k=2时，m=9；②当m=2013时，k=336．

Answer 1

分析 ①根据题意得出网格点横向一共7行，竖向一共是3列，所以在（4，7）点形成的矩形内部一共有7×3=21个网格点，进而得出矩形内部网格点个数规律．
②根据题意得出网格点横向一共（4k-1）行，竖向一共是3列，所以在点（4，4k）形成的矩形内部一共有3（4k-1）个网格点，进而得出矩形内部网格点个数规律．

解答 解：①当k=2时，直线为y=-2x+8，
网格点横向一共7行，竖向一共是3列，
所以在y轴和x=4形成的矩形内部一共有7×3=21个网格点，
而这条连线为矩形的对角线，与3条横线有3个网格点相交，
所以要减掉3点，总的来说就是矩形内部网格点减掉3点的一半，
即为[3×7-3]÷2=9．
②当m=2013时，网格点横向一共（4k-1）行，竖向一共是3列，
所以在y轴和x=4形成的矩形内部一共有（4k-1）×3个网格点，
而这条连线为矩形的对角线，与3条横线有3个网格点相交，
所以要减掉3点，总的来说就是矩形内部网格点减掉3点的一半，
根据题意[（4k-1）×3-3]÷2=2013．
解得k=336；
故答案为：9，336．

点评 此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的纵坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法．