Question

4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B，与x轴交于点E，F，且B，E两点的坐标分别为B（2，$\frac{3}{2}$），E（-1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C不重合），过点M作MN∥BE交x轴于点N，连接PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质确定点A坐标，再把抛物线经过的三个点坐标代入求解即可；
（2）先求出直线BE，MN的解析式，再求出与抛物线对称轴的交点P，G，表示出线段PG的长度，根据三角形面积公式列出二次函数即可求最值；
（3）根据垂直设出直线解析式并求出解析式，联立抛物线即可求出点Q的坐标．

解答 解：（1）
由矩形性质可知，OA=BC=$\frac{3}{2}$，点A（0，$\frac{3}{2}$），
二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A，B（2，$\frac{3}{2}$），E（-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}=c}\\{\frac{3}{2}=4a+2b+c}\\{0=a-b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，

∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}$；
（2）如图1

由抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}$可求其对称轴为：x=1，
令MN与抛物线对称轴的交点为G，
设直线BE的解析式为：y=mx+n，
把点B，E坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}=2m+n}\\{0=-m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以直线BE的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
当x=1时，y=1，
∴点P（1，1），
∵MN∥BE，
可设直线MN的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+q，
把点M（2，t）代入，解得：q=t-1，
∴直线MN的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+t-1，
当y=0时，解得x=2-2t，
∴点N（2-2t，0），
当x=1时，y=t-$\frac{1}{2}$，
∴点G（1，t-$\frac{1}{2}$），
∴PG=1-（t-$\frac{1}{2}$）=-t+$\frac{3}{2}$，
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$×PG×（x_M-x_N）=$\frac{1}{2}$×（-t+$\frac{3}{2}$）×[2-（2-2t）]=-${t}^{2}+\frac{3}{2}t$，
∴当x=$\frac{3}{4}$时，S_△PMN有最大值为$\frac{9}{16}$；
（3）
当∠QBF=90°时，如图2

∵BQ⊥BF，直线BF解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$，
∴设BQ的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x+f，
把点B（2，$\frac{3}{2}$）代入，解得，f=$\frac{1}{6}$，
∴直线BQ：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{6}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：x=$-\frac{4}{3}$或x=2（舍去），
此时y=$-\frac{13}{18}$，
∴此时Q（$-\frac{4}{3}$，$-\frac{13}{18}$），
当∠BFQ=90°时，如图3

因为FQ⊥BF，
所以设直线FQ的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x+e，
把点F（3，0）代入，解得，e=-2，
∴直线FQ的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}x+x+\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：x=$-\frac{7}{3}$，或x=3（舍去），
此时y=$-\frac{32}{9}$，
所以此时Q（$-\frac{7}{3}$，$-\frac{32}{9}$），
当∠BQF=90°时，由图象可知，不存在．
综上所述，△QBF为直角三角形时，点Q的坐标为：（$-\frac{4}{3}$，$-\frac{13}{18}$），（$-\frac{7}{3}$，$-\frac{32}{9}$）．

点评 此题主要考查二次函数的综合问题，会根据点求抛物线和直线的解析式，会运用变量表示三角形面积并解决最值问题，会根据直角分析点的坐标的存在性是解题的关键．