Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点A（5，1）和点B（0，3）是第一象限内的两点．
（1）请在x轴上作出一点P，使PA+PB的最小值，并求出这个最小值；
（2）求直线PB的函数关系式；
（3）若（2）中的一次函数图象为直线m，求直线m沿y轴如何平移可使平移后的直线过点A．

Answer 1

分析 （1）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则A′B的长即为PA+PB的最小值，利用两点间的距离公式求出A′B的长即可；
（2）利用待定系数法求出直线A′B的解析式即可；
（3）利用待定系数法求出直线平移后的解析式，再求直线与x轴的交点即可得出结论．

解答 解：（1）如图，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点，
∵A（5，1），
∴A′（5，-1）．
∵B（0，3），
∴A′B=$\sqrt{{5}^{2}+（-1-3）^{2}}$=$\sqrt{25+16}$=$\sqrt{41}$，
∴PA+PB的最小值是$\sqrt{41}$；

（2）设直线PB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A′（5，-1），B（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}5k+b=-1\\ b=3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{5}\\ b=3\end{array}\right.$，
∴直线PB的解析式为：y=-$\frac{4}{5}$x+3；

（3）设平移后的解析式为y=-$\frac{4}{5}$x+m，
∵A（5，1）
∴-$\frac{4}{5}$×5+m=1，解得m=5，
∴平移后的解析式为y=-$\frac{4}{5}$x+5，
∴直线与y轴的交点为：（0，5）．
∵5-3=2，
∴直线m沿y轴向上平移2个单位过点A．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称-最短路线问题等知识，在解答（1）时要作出辅助线，利用数形结合求解．