Question

13．两块完全相同的三角板△ABC和△EFG，如图1所示放置在同一平面上（∠C=∠E=90°，∠ABC=∠EGF=60°），斜边重合．若三角板EFG不动，三角板ABC在三角板EFG所在的平面上向右滑动，图2是滑动过程中的一个位置．
（1）连结BE、CG，（图2），求证：△EBF≌△CGA．
（2）三角板ABC滑动到什么位置（点B落在FG边的什么位置）时，四边形BCGE是菱形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得出AB=FG，∠A=∠F=30°，AC=FE，求出AG=FB，由SAS证明△EBF≌△CGA即可；
（2）先证出EG=BG=BE，再证出BE=GC=BC，得出BE=EG=GC=BC，即可得出四边形BCGE是菱形．

解答 （1）证明：∵△ABC≌△EFG，∠C=∠E=90°，∠ABC=∠EGF=60°，
∴AB=FG，∠A=∠F=30°，AC=FE，
∵AB=FG，
∴AB-BG=FG-BG，
即AG=FB，
在△EBF和△CGA中，$\left\{\begin{array}{l}{FE=AC}&{\;}\\{∠F=∠A}&{\;}\\{FB=AG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△CGA（SAS）；
（2）解：当点B落在边FG的中点时，四边形BCGE是菱形；理由如下：
∵∠E=90°，∠F=30°，
∴FG=2EG，
当B落在边FG的中点时，则FG=2BG，FG=2BE，
∴EG=BG=BE，
又∵△EBF≌△CGA，
∴BE=GC，而∠ABC=60°，
∴BE=GC=BC，
∴BE=EG=GC=BC，
∴四边形BCGE是菱形．

点评 本题考查了平移的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、等边三角形的判定；熟练掌握平移的性质和菱形的判定，并能进行推理论证是解决问题的关键．