Question

1．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，延长DB交⊙O的切线AF于点F，AE=2，ED=4．
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）求sin∠F．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质可知，根据同弧所对的圆周角相等可知：∠C=∠D，从而可证明∠D=∠ABE，由因为∠BAE=∠DAB，故此：△ABE∽△ADB；
（2）由相似三角形的性质即可求得AB的长；
（3）连接OA，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，可证明△AOB为等边三角形，从而可求得∠F的度数．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠C=∠D，
∴∠D=∠ABE．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
（2）∵△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{AB}{6}=\frac{2}{AB}$．
∴AB=2$\sqrt{3}$．
（3）连接OA．

∵BD是圆的直径，
∴∠BAD=90°．
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{2\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．
∴∠ABO=60°．
又∵OB=OA，
∴△AOB为等边三角形．
∴∠AOF=60°．
∵AF是圆的切线，
∴OA⊥AF．
∴∠F=180°-∠OAF-∠AOF=180°-90°-60°=30°．
∴sin∠F=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理以及圆周角定理的推理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质和判定，求得△AOB为等边三角形是解题的关键．